初始问题陈述

我们有以下同余方程的推导过程：

5m + b \equiv a \pmod{3}
\Rightarrow 2m \equiv a - b \pmod{3}
\Rightarrow m \equiv (a - b) \times 2^{-1} \pmod{3}

我们的目标是详细解释每一步是如何推导的，特别是从第二步到第三步的转换。

第一步：简化同余方程

我们从第一个同余方程开始：

5m + b \equiv a \pmod{3}

首先，我们需要简化这个方程。在同余运算中，系数和常数项都可以对模数取模。因此，我们可以将5对3取模：

5 \div 3 = 1 \text{ 余 } 2 \Rightarrow 5 \equiv 2 \pmod{3}

因此，5m可以表示为：

5m \equiv 2m \pmod{3}

所以，原方程可以简化为：

2m + b \equiv a \pmod{3}

第二步：移项

接下来，我们需要解这个关于m的方程。首先，将b移到等式右边：

2m \equiv a - b \pmod{3}

这一步就是简单的移项，类似于普通的代数方程。

第三步：求解m

现在，我们有：

2m \equiv a - b \pmod{3}

为了求解m，我们需要将系数2“除”到右边。在同余运算中，这相当于乘以2的乘法逆元（multiplicative inverse）。

乘法逆元的定义：

对于一个整数a和模数n，如果存在一个整数x，使得：

a \times x \equiv 1 \pmod{n}

那么x就是a在模n下的乘法逆元，记作a^{-1}。

寻找2在模3下的逆元：

我们需要找到一个整数x，使得：

2 \times x \equiv 1 \pmod{3}

尝试小的整数值：

• x = 1: 2 \times 1 = 2 \equiv 2 \pmod{3}（不等于1）
• x = 2: 2 \times 2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}（因为4除以3余1）

因此，2^{-1} \equiv 2 \pmod{3}。

乘以逆元：

现在，我们有：

2m \equiv a - b \pmod{3}

两边同时乘以2的逆元（即2）：

2^{-1} \times 2m \equiv 2^{-1} \times (a - b) \pmod{3}
2 \times 2m \equiv 2 \times (a - b) \pmod{3}
4m \equiv 2(a - b) \pmod{3}

但是，4 \equiv 1 \pmod{3}，所以：

m \equiv 2(a - b) \pmod{3}

这与题目中给出的第三步一致：

m \equiv (a - b) \times 2^{-1} \pmod{3}

因为2^{-1} \equiv 2 \pmod{3}，所以：

m \equiv (a - b) \times 2 \pmod{3}

验证

为了验证我们的解是正确的，让我们选择一个具体的例子。假设：

• a = 1
• b = 0

那么原方程：

5m + 0 \equiv 1 \pmod{3}
5m \equiv 1 \pmod{3}
2m \equiv 1 \pmod{3}

根据我们的解：

m \equiv 1 \times 2 \equiv 2 \pmod{3}

验证：

m = 2
5 \times 2 + 0 = 10 \equiv 1 \pmod{3} （因为10 ÷ 3 = 3余1）

确实成立。

总结推导步骤

简化系数：
• 5 \equiv 2 \pmod{3}，所以5m + b \equiv a \pmod{3}变为2m + b \equiv a \pmod{3}。
移项：
• 将b移到右边：2m \equiv a - b \pmod{3}。
求解m：
• 找到2在模3下的乘法逆元：2 \times 2 \equiv 1 \pmod{3}，所以2^{-1} \equiv 2 \pmod{3}。
• 两边乘以2的逆元：m \equiv (a - b) \times 2 \pmod{3}。

因此，完整的推导过程是：

\begin{align*} 5m + b &\equiv a \pmod{3} \\ \Rightarrow 2m + b &\equiv a \pmod{3} \quad \text{（因为 } 5 \equiv 2 \pmod{3}\text{）} \\ \Rightarrow 2m &\equiv a - b \pmod{3} \quad \text{（移项）} \\ \Rightarrow m &\equiv (a - b) \times 2^{-1} \pmod{3} \quad \text{（乘以逆元）} \\ &\equiv (a - b) \times 2 \pmod{3} \quad \text{（因为 } 2^{-1} \equiv 2 \pmod{3}\text{）} \end{align*}

可能的疑问与澄清

为什么可以两边乘以逆元？

在同余方程中，乘以一个数的逆元类似于在普通方程中除以该数。因为：

2m \equiv c \pmod{3} \quad (c = a - b)

乘以2^{-1}：

2^{-1} \times 2m \equiv 2^{-1} \times c \pmod{3}
1 \times m \equiv 2^{-1} \times c \pmod{3}
m \equiv 2^{-1} \times c \pmod{3}

这与解普通方程2m = c时两边除以2得到m = \frac{c}{2}类似。

为什么2^{-1} \equiv 2 \pmod{3}？

因为：

2 \times 2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}

所以2乘以2等于1在模3下，因此2的逆元是2。

如果模数不是质数，逆元是否一定存在？

不一定。只有当数与模数互质时，数在模数下才有逆元。3是质数，任何不被3整除的数（即1和2）都有逆元模3。

一般化

对于一般的同余方程：

k m \equiv c \pmod{n}

解为：

m \equiv c \times k^{-1} \pmod{n}

前提是k和n互质，即\gcd(k, n) = 1，这样k^{-1}存在。

在我们的例子中：

k = 2, n = 3
\gcd(2, 3) = 1 \Rightarrow \text{逆元存在}
2^{-1} \equiv 2 \pmod{3}

其他方法：枚举法

对于模数较小的情况，也可以尝试枚举m的可能值（因为模3，所以m \in \{0, 1, 2\}）来求解。

例如：

2m \equiv a - b \pmod{3}

设c = a - b，则：

• 如果c \equiv 0 \pmod{3}：
• 2 \times 0 = 0 \equiv 0 ⇒ m \equiv 0
• 2 \times 1 = 2 \not\equiv 0
• 2 \times 2 = 4 \equiv 1 \not\equiv 0
• 所以m \equiv 0

• 如果c \equiv 1 \pmod{3}：
• 2 \times 0 = 0 \not\equiv 1
• 2 \times 1 = 2 \not\equiv 1
• 2 \times 2 = 4 \equiv 1
• 所以m \equiv 2

• If c \equiv 2 \pmod{3}:
• 2 \times 0 = 0 \not\equiv 2
• 2 \times 1 = 2 \equiv 2
• 2 \times 2 = 4 \equiv 1 \not\equiv 2
• 所以m \equiv 1

这与乘以逆元的方法一致：

m \equiv c \times 2 \pmod{3}

因为：

• c = 0: 0 \times 2 = 0 \equiv 0
• c = 1: 1 \times 2 = 2 \equiv 2
• c = 2: 2 \times 2 = 4 \equiv 1

结论

通过上述步骤和验证，我们可以确认从：

5m + b \equiv a \pmod{3}

推导到：

m \equiv (a - b) \times 2^{-1} \pmod{3}

的过程是正确的。具体步骤如下：

简化系数：5 \equiv 2 \pmod{3}，所以5m + b \equiv 2m + b \equiv a \pmod{3}。
移项：2m \equiv a - b \pmod{3}。
乘以逆元：因为2 \times 2 \equiv 1 \pmod{3}，所以2^{-1} \equiv 2 \pmod{3}，因此m \equiv (a - b) \times 2 \pmod{3}。

因此，最终的推导是：

\begin{align*} 5m + b &\equiv a \pmod{3} \\ \Rightarrow 2m + b &\equiv a \pmod{3} \\ \Rightarrow 2m &\equiv a - b \pmod{3} \\ \Rightarrow m &\equiv (a - b) \times 2^{-1} \pmod{3} \\ &\equiv (a - b) \times 2 \pmod{3} \end{align*}

最终答案

从同余方程 5m + b \equiv a \pmod{3} 推导到 m \equiv (a - b) \times 2^{-1} \pmod{3} 的详细步骤如下：

简化系数：
• 因为 5 \equiv 2 \pmod{3}，所以 5m + b \equiv 2m + b \equiv a \pmod{3}。
移项：
• 将 b 移到右边： 2m \equiv a - b \pmod{3}。
求解 m：
• 需要将 m 的系数化为1。为此，乘以2的乘法逆元。
• 在模3下，2 \times 2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}，因此 2^{-1} \equiv 2 \pmod{3}。
• 两边乘以 2^{-1}：
m \equiv (a - b) \times 2^{-1} \equiv (a - b) \times 2 \pmod{3}

因此，最终的表达式为：

m \equiv (a - b) \times 2 \pmod{3}

这个推导是正确的，关键在于理解如何在模运算中通过乘法逆元来“除法”。