初始问题陈述
我们有以下同余方程的推导过程：
- 5m + b \equiv a \pmod{3}
- \Rightarrow 2m \equiv a - b \pmod{3}
- \Rightarrow m \equiv (a - b) \times 2^{-1} \pmod{3}
我们的目标是详细解释每一步是如何推导的，特别是从第二步到第三步的转换。
第一步：简化同余方程
我们从第一个同余方程开始：
5m + b \equiv a \pmod{3}
首先，我们需要简化这个方程。在同余运算中，系数和常数项都可以对模数取模。因此，我们可以将5对3取模：
5 \div 3 = 1 \text{ 余 } 2 \Rightarrow 5 \equiv 2 \pmod{3}
因此，5m可以表示为：
5m \equiv 2m \pmod{3}
所以，原方程可以简化为：
2m + b \equiv a \pmod{3}
第二步：移项
接下来，我们需要解这个关于m的方程。首先，将b移到等式右边：
2m \equiv a - b \pmod{3}
这一步就是简单的移项，类似于普通的代数方程。
第三步：求解m
现在，我们有：
2m \equiv a - b \pmod{3}
为了求解m，我们需要将系数2“除”到右边。在同余运算中，这相当于乘以2的乘法逆元（multiplicative inverse）。
乘法逆元的定义：
对于一个整数a和模数n，如果存在一个整数x，使得：
a \times x \equiv 1 \pmod{n}
那么x就是a在模n下的乘法逆元，记作a^{-1}。
寻找2在模3下的逆元：
我们需要找到一个整数x，使得：
2 \times x \equiv 1 \pmod{3}
尝试小的整数值：
• x = 1: 2 \times 1 = 2 \equiv 2 \pmod{3}（不等于1）
• x = 2: 2 \times 2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}（因为4除以3余1）
因此，2^{-1} \equiv 2 \pmod{3}。
乘以逆元：
现在，我们有：
2m \equiv a - b \pmod{3}
两边同时乘以2的逆元（即2）：
2^{-1} \times 2m \equiv 2^{-1} \times (a - b) \pmod{3}
2 \times 2m \equiv 2 \times (a - b) \pmod{3}
4m \equiv 2(a - b) \pmod{3}
但是，4 \equiv 1 \pmod{3}，所以：
m \equiv 2(a - b) \pmod{3}
这与题目中给出的第三步一致：
m \equiv (a - b) \times 2^{-1} \pmod{3}
因为2^{-1} \equiv 2 \pmod{3}，所以：
m \equiv (a - b) \times 2 \pmod{3}
验证
为了验证我们的解是正确的，让我们选择一个具体的例子。假设：
• a = 1
• b = 0
那么原方程：
5m + 0 \equiv 1 \pmod{3}
5m \equiv 1 \pmod{3}
2m \equiv 1 \pmod{3}
根据我们的解：
m \equiv 1 \times 2 \equiv 2 \pmod{3}
验证：
m = 2
5 \times 2 + 0 = 10 \equiv 1 \pmod{3} （因为10 ÷ 3 = 3余1）
确实成立。
总结推导步骤
简化系数：
• 5 \equiv 2 \pmod{3}，所以5m + b \equiv a \pmod{3}变为2m + b \equiv a \pmod{3}。
移项：
• 将b移到右边：2m \equiv a - b \pmod{3}。
求解m：
• 找到2在模3下的乘法逆元：2 \times 2 \equiv 1 \pmod{3}，所以2^{-1} \equiv 2 \pmod{3}。
• 两边乘以2的逆元：m \equiv (a - b) \times 2 \pmod{3}。
因此，完整的推导过程是：
\begin{align*}
5m + b &\equiv a \pmod{3} \\
\Rightarrow 2m + b &\equiv a \pmod{3} \quad \text{（因为 } 5 \equiv 2 \pmod{3}\text{）} \\
\Rightarrow 2m &\equiv a - b \pmod{3} \quad \text{（移项）} \\
\Rightarrow m &\equiv (a - b) \times 2^{-1} \pmod{3} \quad \text{（乘以逆元）} \\
&\equiv (a - b) \times 2 \pmod{3} \quad \text{（因为 } 2^{-1} \equiv 2 \pmod{3}\text{）}
\end{align*}
可能的疑问与澄清
为什么可以两边乘以逆元？
在同余方程中，乘以一个数的逆元类似于在普通方程中除以该数。因为：
2m \equiv c \pmod{3} \quad (c = a - b)
乘以2^{-1}：
2^{-1} \times 2m \equiv 2^{-1} \times c \pmod{3}
1 \times m \equiv 2^{-1} \times c \pmod{3}
m \equiv 2^{-1} \times c \pmod{3}
这与解普通方程2m = c时两边除以2得到m = \frac{c}{2}类似。
为什么2^{-1} \equiv 2 \pmod{3}？
因为：
2 \times 2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}
所以2乘以2等于1在模3下，因此2的逆元是2。
如果模数不是质数，逆元是否一定存在？
不一定。只有当数与模数互质时，数在模数下才有逆元。3是质数，任何不被3整除的数（即1和2）都有逆元模3。
一般化
对于一般的同余方程：
k m \equiv c \pmod{n}
解为：
m \equiv c \times k^{-1} \pmod{n}
前提是k和n互质，即\gcd(k, n) = 1，这样k^{-1}存在。
在我们的例子中：
k = 2, n = 3
\gcd(2, 3) = 1 \Rightarrow \text{逆元存在}
2^{-1} \equiv 2 \pmod{3}
其他方法：枚举法
对于模数较小的情况，也可以尝试枚举m的可能值（因为模3，所以m \in \{0, 1, 2\}）来求解。
例如：
2m \equiv a - b \pmod{3}
设c = a - b，则：
• 如果c \equiv 0 \pmod{3}：
• 2 \times 0 = 0 \equiv 0 ⇒ m \equiv 0
• 2 \times 1 = 2 \not\equiv 0
• 2 \times 2 = 4 \equiv 1 \not\equiv 0
• 所以m \equiv 0
• 如果c \equiv 1 \pmod{3}：
• 2 \times 0 = 0 \not\equiv 1
• 2 \times 1 = 2 \not\equiv 1
• 2 \times 2 = 4 \equiv 1
• 所以m \equiv 2
• If c \equiv 2 \pmod{3}:
• 2 \times 0 = 0 \not\equiv 2
• 2 \times 1 = 2 \equiv 2
• 2 \times 2 = 4 \equiv 1 \not\equiv 2
• 所以m \equiv 1
这与乘以逆元的方法一致：
m \equiv c \times 2 \pmod{3}
因为：
• c = 0: 0 \times 2 = 0 \equiv 0
• c = 1: 1 \times 2 = 2 \equiv 2
• c = 2: 2 \times 2 = 4 \equiv 1
结论
通过上述步骤和验证，我们可以确认从：
5m + b \equiv a \pmod{3}
推导到：
m \equiv (a - b) \times 2^{-1} \pmod{3}
的过程是正确的。具体步骤如下：
- 简化系数：5 \equiv 2 \pmod{3}，所以5m + b \equiv 2m + b \equiv a \pmod{3}。
- 移项：2m \equiv a - b \pmod{3}。
- 乘以逆元：因为2 \times 2 \equiv 1 \pmod{3}，所以2^{-1} \equiv 2 \pmod{3}，因此m \equiv (a - b) \times 2 \pmod{3}。
因此，最终的推导是：
\begin{align*}
5m + b &\equiv a \pmod{3} \\
\Rightarrow 2m + b &\equiv a \pmod{3} \\
\Rightarrow 2m &\equiv a - b \pmod{3} \\
\Rightarrow m &\equiv (a - b) \times 2^{-1} \pmod{3} \\
&\equiv (a - b) \times 2 \pmod{3}
\end{align*}
最终答案
从同余方程 5m + b \equiv a \pmod{3} 推导到 m \equiv (a - b) \times 2^{-1} \pmod{3} 的详细步骤如下：
简化系数：
• 因为 5 \equiv 2 \pmod{3}，所以 5m + b \equiv 2m + b \equiv a \pmod{3}。
移项：
• 将 b 移到右边： 2m \equiv a - b \pmod{3}。
求解 m：
• 需要将 m 的系数化为1。为此，乘以2的乘法逆元。
• 在模3下，2 \times 2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}，因此 2^{-1} \equiv 2 \pmod{3}。
• 两边乘以 2^{-1}：
m \equiv (a - b) \times 2^{-1} \equiv (a - b) \times 2 \pmod{3}
因此，最终的表达式为：
m \equiv (a - b) \times 2 \pmod{3}
这个推导是正确的，关键在于理解如何在模运算中通过乘法逆元来“除法”。